Question

14．在平面直角生标系中，0为坐标原点，C（4，0），A（a，3），B（a+4，3），
（1）求△OAC的面积；
（2）若a=$\sqrt{7}$，求证：四边形OABC是菱形；
（3）点P是线段OB上任意一点，若点P向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的点P在射线OB上，则线段OB上是否存在点G，使得△OCG为等腰三角形？若存在，求点G的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，则AE=3，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（2）由a=$\sqrt{7}$，得到A（$\sqrt{7}$，3），B（$\sqrt{7}$+4，3），由于y_A=y_B，得到AB∥OC，推出四边形OABC是平行四边形，根据勾股定理得到OE=$\sqrt{O{E}^{2}+A{E}^{2}}$=4，于是得到四边形OABC是菱形；
（3）由点P是线段OB上任意一点，得到当点P与点O重合时，所对应的P'（2，1）在射线OB上，设直线OB的解析式为y=kx，得到线段OB解析式为y=$\frac{1}{2}$x．求得B（6，3），若线段OB上存在点G（x，$\frac{1}{2}$x），使得△OGC为等腰三角形，则可分为下列三种情形进行讨论：①当OG=GC时，②当OG=OC=4时，③当GC=OC=4时，于是得到结论．

解答 解：（1）过点A（a，3）作AE⊥x轴于点E，则AE=3，
又∵C（4，0）
∴OC=4，
∴S_△OAC=$\frac{1}{2}$•OC•AE=6；
（2）若a=$\sqrt{7}$，则A（$\sqrt{7}$，3），B（$\sqrt{7}$+4，3），
∵y_A=y_B，
∴AB∥OC，
AB=4，OC=4，
∴AB=OC，
∴四边形OABC是平行四边形，
∵∠AEO=90°，AE=3，OE=$\sqrt{O{E}^{2}+A{E}^{2}}$=4，
∴OA=AB，
∴四边形OABC是菱形；
（3）∵点P是线段OB上任意一点，
∴当点P与点O重合时，
所对应的P'（2，1）在射线OB上，
设直线OB的解析式为y=kx，代入得，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴线段OB解析式为y=$\frac{1}{2}$x．
∵B（a+4，3）在直线OB上，
∴a+4=6，
∴B（6，3），
若线段OB上存在点G（x，$\frac{1}{2}$x），使得△OGC为等腰三角形，则可分为下列三种情形进行讨论：
①当OG=GC时，如图1，点G在OC的垂直平分线上，
则有x=2，
∴此时G（2，1）在线段OB上，
②当OG=OC=4时，
过点G作GF⊥x轴于点F，
则∠AFG=90°，x²+（$\frac{1}{2}$x）²=4²，
∴x=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$＜6，
∴G（$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）在线段OB上；
③当GC=OC=4时，
过点G作GH⊥x轴于点H，
则∠GHO=90°，（x-4）²+（$\frac{1}{2}$x）²=4²，
∴x=$\frac{32}{5}$＞6，
∴此时点G不在线段OB上．
综上所述，符合条件的点G的坐标为（2，1）或（$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$）．

点评 本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．