Question

1．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5．点E在边BC上，以AE为边作正方形AEFG，顶点F恰好在边CD上，FG与AD交于点H．则DH的长为$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 根据矩形的性质得到∠B=∠C，∠BAE=∠FEC，AE=EF，证得△ABE≌△FEC，再通过△DHF∽△FEC，得到比例式，于是得到结果．

解答 解：在矩形ABCD中，
∵∠B=∠C=∠D=90°，
∵四边形AEFG是正方形，
∴∠AEF=90°，AE=EF，
∴∠BAE+∠AEB=∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
在△ABE与△FEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠FEC}\\{∠B=∠C}\\{AE=EF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FEC，
∴CE=AB=4，BE=CF=1，
∴EF=$\sqrt{{4}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
同理可证∠DFH=∠FEC，
∴△DHF∽△FEC，
∴$\frac{DH}{CF}=\frac{DF}{CE}$，
∵DF=CD-CF=3，
∴$\frac{DH}{1}=\frac{3}{4}$，
∴DH=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟记定理是解题的关键．