如图①所示.在平面直角坐标系xoy中.Rt△AOB的直角边OB.OA分别在x轴上和y轴上.其中OA=2.OB=4.现将Rt△AOB绕着直角顶点O按顺时针方向旋转90°得到△COD.已知一抛物线经过C.D.B三点.直线EF为抛物线的对称轴.E为顶点．(1)求这条抛物线的解析式和E点坐标,的条件下.如图②.点P是CE上一个动点.P′是P关于EF的对称点.连接PF.过P′作P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．如图①所示，在平面直角坐标系xoy中，Rt△AOB的直角边OB，OA分别在x轴上和y轴上，其中OA=2，OB=4，现将Rt△AOB绕着直角顶点O按顺时针方向旋转90°得到△COD，已知一抛物线经过C，D，B三点，直线EF为抛物线的对称轴，E为顶点．
（1）求这条抛物线的解析式和E点坐标；
（2）在（1）的条件下，如图②，点P是CE上一个动点，P′是P关于EF的对称点，连接PF，过P′作P′G∥PF交x轴于G，设S_{四边形FPP′G}=y，FG=x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（3）如图③在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使△BDQ成为以BD为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）先求出点C，D，B的坐标，在用待定系数法求出抛物线解析式，写成顶点式即可求出点E坐标；
（2）先求出CB，EF，再判断出△EPP'∽△ECB得出比例式得出HF即可得出y与x的函数关系式即可求出y的最大值；
（3）先求出OM的解析式，分两种情况①∠BDQ=90°和②∠DBQ=90°用直线和抛物线的解析式建立方程组求出点Q的坐标．

解答解：（1）由旋转知，△COD≌△AOB，
∴OC=OA，OD=OB，
∴OC=2，OD=4，
∴C（2，0），D（0，4），B（-4，0），
∴设抛物线的解析式为y=a（x-2）（x+4），
把点D（0，4）代入抛物线解析式中，得出a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x-2）（x+4）=-$\frac{1}{2}$（x+1）²+$\frac{9}{2}$，
∴E（-1，$\frac{9}{2}$）；

（2）令PP'交EF于H，
∵PP'∥BC，PE∥P'G，
∴四边形FGP'P是平行四边形，
∴PP'=FG，
∴△EPP'∽△ECB，
∴$\frac{PP'}{CB}=\frac{EH}{EF}=\frac{EF-HF}{EF}$，
∵C（2，0），B（-4，0），E（-1，$\frac{9}{2}$），
设FG=x，∴CB=6，EF=$\frac{9}{2}$，PP'=x，
∴$\frac{x}{6}=\frac{\frac{9}{2}-HF}{\frac{9}{2}}$，
∴HF=$\frac{9}{2}-\frac{3}{4}x$，
∵S_{四边形FPP′G}=FG•FH，
∴y=x（$\frac{9}{2}-\frac{3}{4}x$）=-$\frac{3}{4}$（x-3）²+$\frac{27}{4}$，
∴当x=3时，y的最大值为$\frac{27}{4}$；

（3）假设存在满足条件的点Q（x，y），作OM⊥BD于M，
∵BD是Rt△BDQ的直角边，
∴Rt△BDQ的另一直角边与OM平行，
∵OD=OB，OD⊥OB，OB=4，OC=4，
∴Rt△BCQ的另一直角边所在的直线可以由直线OM向上或向右平移4个单位得到，
如图，∵直线OM的解析式为y=x，
∴Rt△BDQ的另一直角边所在的直线解析式为y=-x+4或y=-x-4，
①点Q为直线y=-x+4和抛物线的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+4}\\{y=-\frac{1}{2}（x+1）^{2}+\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$，此时点Q和点D重合，不符合题意，舍去；
②点Q为直线y=-x-4和抛物线的交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-4}\\{y=-\frac{1}{2}（x+1）^{2}+\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=-8}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-4}\\{y=0}\end{array}\right.$（舍），
∴存在满足条件的点Q的坐标为（4，-8）．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质，面积的极值，交点坐标的求法，解（1）的关键是求出点B，C，D的坐标，解（2）的关键是用x表示出FH，解（3）的关键是分类讨论，是一道中等难度的中考常考题．

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