Question

如图，P是⊙O外一点，过P作PA切⊙O于A，PC为⊙O的割线，交⊙O于点B，求证：AB²：AC²=PB：PC．

Answer 1

考点：切线的性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：由PA切⊙O于A，PC为⊙O的割线，根据弦切角定理，可得∠PAB=∠C，继而可证得△PAB∽△PCA，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，得到S_△PAB：S_△PCA=AB²：AC²，又由等高三角形的面积的比等于对应底的比，可得S_△PAB：S_△PCA=PB：PC，继而证得结论．

解答：证明：∵PA切⊙O于A，PC为⊙O的割线，
∴∠PAB=∠C，
∵∠P是公共角，
∴△PAB∽△PCA，
∴S_△PAB：S_△PCA=AB²：AC²，
∵S_△PAB：S_△PCA=PB：PC，
∴AB²：AC²=PB：PC．

点评：此题考查了切线的性质、弦切角定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积比问题．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．