Question

如图，D是四边形AEBC内一点，连接AD、BD，已知CA=CB，DA=DB，EA=EB．
（1）C、D、E三点在一条直线上吗？为什么？
（2）如果AB=24，AD=13，CA=20，那么CD的长是多少？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连结CD．ED，通过证明△ADC≌△BDC，△ADE≌△BDE就可以得出结论；
（2）连结AB，就可以得出AE=BE，CE⊥AB，由勾股定理就可以求出CD的值．

解答：解：（1）C、D、E三点在一条直线上．
理由：连结CD．ED，
在△ADC和△BDC中

AC=BC AD=BD CD=CD

，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠ADC=∠BDC．∠ACD=∠BCD．
在△ADE和△BDE中

AD=BD AE=BE ED=ED

，
∴△ADE≌△BDE（SSS），
∴∠ADE=∠BDE．
∵∠ADC+∠BDC+∠ADE+∠BDE=360°，
∴2∠ADC+2∠ADE=360°，
∴∠ADC+∠ADE=180°，
∴C、D、E三点在一条直线上；
（2）连结AB，
∵AC=BC，∠ACD=∠BCD，
∴AF=BF=

1

2

AB，CF⊥AB．
∵AB=24，
∴AF=12．
∵AD=13，CA=20，
∴在Rt△ADF和△AFC中，由勾股定理，得
FD=5，FC=16，
∴CD=16-5=11．
答：CD的长是11．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．