Question

4．如图，抛物线$y=-\frac{5}{12}{x^2}-\frac{7}{6}x+c$与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧）与y轴交于点C（0，8），点D是抛物线上的动点，直线AD与y轴交于点K．
（1）填空：c=8；
（2）若点D的横坐标为2，连接OD、CD、AC，以AC为直径作⊙M，试判断点D与⊙M的位置关系，并说明理由．
（3）在抛物线$y=-\frac{5}{12}{x^2}-\frac{7}{6}x+c$上是否存在点D，使得∠BAC=2∠BAD？若存在，试求出点D的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）把C（0，8）代入抛物线y=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+c，计算即可求得c的值；
（2）点D与⊙M上，理由：由（1）得抛物线的解析式为：y=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+8，进一步得到点D的坐标为（2，4），根据坐标轴上点的坐标特征可求点A的坐标为（-6，0），根据待定系数法可求直线AD的解析式，根据坐标轴上点的坐标特征可求点K的坐标为（0，3），在Rt△AOK中，根据三角函数得到tan∠KAO，作DE⊥y轴于点E，则DE=2，CE=8-4=4，在Rt△CED中，根据三角函数得到tan∠ECD，tan∠ECD=$\frac{ED}{CE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，可得∠KAO=∠ECD，进一步得到∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，可得点D在⊙M上．
（3）分两种情况讨论：i）当直线AD在x轴的上方时；ii）当直线AD在x轴的下方时，直线AD关于x轴的对称图形为直线AD'，进行讨论，可求符合条件的点D的坐标．

解答 解：（1）把C（0，8）代入抛物线y=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+c，得c=8．
故答案为：8；
（2）点D与⊙M上，
理由如下：
由（1）得：c=8，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+8，
当x=2时，y=-$\frac{5}{12}$×2²-$\frac{7}{6}$×2+8=4，
∴点D的坐标为（2，4），
在y=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+8中，
令y=0，则-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+8=0，
解得：x₁=-6，x₂=$\frac{16}{5}$，
∴点A的坐标为（-6，0）．
设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），
又∵直线过点A（-6，0）和点D（2，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}-6k+b=0\\ 2k+b=4\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=3\end{array}\right.$，
∴直线AD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+3．
令x=0，则y=3，
∴点K的坐标为（0，3）．
在Rt△AOK中，tan∠KAO=$\frac{OK}{AO}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
作DE⊥y轴于点E，则DE=2，CE=8-4=4，
在Rt△CED中，tan∠ECD=$\frac{ED}{CE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠KAO=tan∠ECD，
即∠KAO=∠ECD
∵∠KAO+∠AKO=90°，
又∵∠AKO=∠CKD，
∴∠ECD+∠CKD=90°，∠CDK=90°，
∴点D在⊙M上．
（3）分两种情况讨论：
i）当直线AD在x轴的上方时，由（2）中可知：tan∠ECD=$\frac{1}{2}$，
在Rt△OED中，tan∠EOD=$\frac{ED}{OE}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠ECD=tan∠EOD，∠ECD=∠EOD，CD=OD，
∵∠AOC=90°，
∴点O在⊙M上．
在⊙M中，$\widehat{CD}$=$\widehat{OD}$，∠CAD=∠DAB，即∠BAC=2∠BAD，
∴点D（2，4）符合题意．
ii）当直线AD在x轴的下方时，直线AD关于x轴的对称图形为直线AD'，
设直线AD'上的任意一点为（m，n），则点（m，n）关于x轴的对称点（m，-n）在直线AD上，
把点（m，-n）代入直线AD的解析式y=$\frac{1}{2}$x+3，得：-n=$\frac{1}{2}$m+3，n=-$\frac{1}{2}$m-3，即y=-$\frac{1}{2}$x-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{2}x-3\\ y=-\frac{5}{12}{x^2}-\frac{7}{6}x+8\end{array}\right.$得：-$\frac{1}{2}$x-3=-$\frac{5}{12}$x²-$\frac{7}{6}$x+8，
整理得：5x²+8x-132=0，
解得：x₁=-6，x₂=$\frac{22}{5}$，
∴点D$（{\frac{22}{5}，\;-\frac{26}{5}}）$．
综上，符合条件的点D的坐标为（2，4）或$（{\frac{22}{5}，\;-\frac{26}{5}}）$．

点评 考查了二次函数综合题，涉及了待定系数法求函数的解析式的运用，坐标轴上点的坐标特征，三角函数，分类思想的应用，方程思想的应用，综合性较强，有一定的难度．