Question

14．如图所示，正方形ABCD中，M在CD上，N在DA延长线上，CM=AN，点E在BD上，EN平分∠DNM，EF⊥MN于点F，问MN，AD，EF有什么数量关系？

Answer 1

分析 结论：MN=2AD-2EF．作EG⊥AD于G，EH⊥CD于H．由Rt△ENG≌Rt△ENF，Rt△EMH≌Rt△EMF，推出NF=NG，MF=MH，推出MN=NF+FM=NG+MH=DN-DG+DM-DH=AD+AN-DG+DC-CM-DH=2AD-2EF．

解答 解：结论：MN=2AD-2EF．
理由：作EG⊥AD于G，EH⊥CD于H．

∵四边形ABCD是正方形，
∵AD=CD，∠ADB=∠BDC，∵EG⊥AD，EH⊥DC，
∴EG=EH，
∵∠END=∠ENM，
∴EG=EF，
∴EG=EH=EF，∵EN=EN，EM=EM，
∴Rt△ENG≌Rt△ENF，Rt△EMH≌Rt△EMF，
∴NF=NG，MF=MH，
∵AN=CM，
∴MN=NF+FM=NG+MH=DN-DG+DM-DH=AD+AN-DG+DC-CM-DH=2AD-2EF．

点评 本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质．角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．