Question

13．△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=$\sqrt{2}$，点D位于边BC的中点上．点E在AB上，点F在AC上，∠EDF=45°，给出以下结论：
①当BE=1时，S_△CDF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；②∠DFC=∠EDB；③CF•BE=1；④C_△AEF=$\sqrt{2}$；⑤S_△AEF+2S_△DEF=$\frac{1}{2}$；
正确的有（　　）

• A． ①②③
• B． ①③④⑤
• C． ②③④
• D． ③④⑤

Answer 1

分析 ①根据等腰直角三角形的性质，可得BD的长度，∠B与∠C的大小，根据三角形的内角和，可得∠BDE的度数，根据三个角的和是平角，可得∠FDC的度数，可得∠DFC的度数，根据等腰三角形的判定，可得CF的长，根据正弦函数，可得DC边上的高，根据三角形的面积公式，可得答案；
②根据平角的定义得到∠EDB+∠FDC=135°，然后根据三角形的内角和得到∠DFC+∠FDC=135°，从而证得结论；
③证得△BDE∽△CFD后得到$\frac{BD}{FC}=\frac{BE}{CD}$，从而转化为比例式即可得到结论；
④根据勾股定理可得EF的长，根据三角形的周长，可得答案；
⑤根据三角形面积间的关系，可得答案．

解答 解：①由△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，AB=$\sqrt{2}$，得BC=2，点D位于边BC的中点上，得BD=DC=BE=1，∠B=∠C=45°，∠BDE=67.5°，∠EDF=45°，∴∠FDC=∠DFC=67.5°，CF=CD=1，DC边上的高是$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△CDF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故①正确；
②∵∠EDF=45°，
∴∠EDB+∠FDC=135°，
∵∠B=∠C=45°，
∴∠DFC+∠FDC=135°，
∴∠BDE=∠DFC，故②正确；
③∠B=∠C，∠BED=∠FDC，
∴△BDE∽△CFD，
∴$\frac{BD}{FC}=\frac{BE}{CD}$
∴CF•BE=BD•CD=1，①故③正确；
④AE=AE=$\sqrt{2}$-1，EF=$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}$-1），C_△AEF=$\sqrt{2}$，故④正确；
⑤S_△AFE=$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$，S_△BDE=S_△CDF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，S_△DEF=1-（$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$）-$\sqrt{2}$=-$\frac{1}{2}$，S_△AEF+2S_△DEF=$\frac{3}{2}-\sqrt{2}$+2×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}-\sqrt{2}$，故⑤错误．
故选：C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了三角形边角间的关系，三角形的面积公式．