Question

8．二次函数y=一x²+ax+b图象与x轴交于A（$-\frac{1}{2}$，0），B（2，0）两点，且与y轴交于点C．
（1）则△ABC的形状为直角三角形；
（2）在此抛物线上一动点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是梯形，则P点的坐标为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-9）．

Answer 1

分析 （1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中即可确定抛物线的解析式；进而可得到C点坐标，进而可求出AC、BC、AB的长，然后再判断△ABC的形状；
（2）若A、C、B、P四点为顶点的四边形是梯形，则有两种情况需要考虑：
①以BC、AP为底，可先求出直线BC的解析式，进而可确定直线AP的解析式，联立抛物线的解析式即可求出点P的坐标．
②以AC、BP为底，方法同①．

解答 解：（1）由题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}-\frac{1}{2}a+b=0}\\{-4+2a+b=0}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{3}{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$；
∴抛物线的解析式为y=-x²+$\frac{3}{2}$x+1；
∴C（0，1）；
∴AC²=$\frac{1}{4}$+1=$\frac{5}{4}$，BC²=1+4=5，AB²=（2+$\frac{1}{2}$）²=$\frac{25}{4}$；
∴AC²+BC²=AB²，即△ABC是直角三角形；
故答案为：直角三角形；
（3）①若以A、C、B、P四点为顶点的梯形以BC、AP为底，如图1；
∵B（2，0），C（0，1），
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+1；
设过点A（-$\frac{1}{2}$，0）且平行于BC的直线的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+h，
则有：（-$\frac{1}{2}$）×（-$\frac{1}{2}$）+h=0，h=-$\frac{1}{4}$；
∴y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{4}$；
联立抛物线的解析式有：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}}\\{y=-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+1}\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{5}{2}}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
∴点P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）；
②若以A、C、B、P四点为顶点的梯形以AC、BP为底，如图2，
同理可求得P（-$\frac{5}{2}$，-9）；
故当P（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-9）时，以A、C、B、P四点为顶点的四边形是梯形．
故答案为（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）或（-$\frac{5}{2}$，-9）．

点评 此题是二次函数的综合类试题，考查了二次函数解析式的确定，直角三角形、等腰三角形、直角梯形的判定，难度适中．