Question

13．按一定的规律排列的一列数依次为：$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{15}$，$\frac{1}{35}$，$\frac{1}{63}$，…，按此规律排列下去，这列数的第6个数是$\frac{1}{143}$．

Answer 1

分析 首先判断出这列数的分子都是1；然后根据3=1×3=（2×1-1）×（2×1+1），15=3×5=（2×2-1）×（2×2+1），35=5×7=（2×3-1）×（2×3+1），63=7×9=（2×4-1）×（2×4+1），…，可得第n个数的分母是（2n-1）（2n+1），所以第n个数是$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$，据此求出这列数的第6个数是多少即可．

解答 解：因为3=1×3=（2×1-1）×（2×1+1），15=3×5=（2×2-1）×（2×2+1），
35=5×7=（2×3-1）×（2×3+1），63=7×9=（2×4-1）×（2×4+1），…，
所以第n个数的分母是（2n-1）（2n+1），
所以第6个数的分母是：
（2×6-1）×（2×6+1）
=11×13
=143，
所以这列数的第6个数是$\frac{1}{143}$．
故答案为：$\frac{1}{143}$．

点评 此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律，解答此题的关键是判断出：第n个数的分母是（2n-1）（2n+1），进而判断出第n个数是$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$．