Question

13．阅读与应用：阅读1：a、b为实数，且a＞0，b＞0，因为（$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$）²≥0，所以a-2$\sqrt{ab}$+b≥0，从而a+b≥2$\sqrt{ab}$（当a=b时取等号）．
阅读2：函数y=x+$\frac{m}{x}$（常数m＞0，x＞0），由阅读1结论可知：x+$\frac{m}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{m}{x}}$=2$\sqrt{m}$，所以当x=$\frac{m}{x}$即x=$\sqrt{m}$时，函数y=x+$\frac{m}{x}$的最小值为2$\sqrt{m}$．
阅读理解上述内容，解答下列问题：
问题1：已知一个矩形的面积为4，其中一边长为x，则另一边长为$\frac{4}{x}$，周长为2（x+$\frac{4}{x}$），求当x=2时，周长的最小值为8．
问题2：已知函数y₁=x+1（x＞-1）与函数y₂=x²+2x+17（x＞-1），
当x=3时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值为8．
问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人10元；三是其他费用．其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01．当学校学生人数为多少时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？（生均投入=支出总费用÷学生人数）

Answer 1

分析 问题1：利用题中的不等式得到x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，从而得到x=2时，周长的最小值为8；
问题2：先变形得到$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{（x+1）^{2}+16}{x+1}$=x+1+$\frac{16}{x+1}$，然后利用题中的不等式性质解决问题；
问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，依题意得y=$\frac{6400+10x+0.01{x}^{2}}{x}$，变形得到y=$\frac{x}{100}$+$\frac{6400}{x}$+10，然后利用不等式的性质求解．

解答 解：问题1：∵x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当x=$\frac{4}{x}$时，2（x+$\frac{4}{x}$）有最小值8，
即x=2时，周长的最小值为8；

问题2：$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=$\frac{（x+1）^{2}+16}{x+1}$=x+1+$\frac{16}{x+1}$，
∵x+1+$\frac{16}{x+1}$≥2$\sqrt{（x+1）•\frac{16}{x+1}}$=8，即x+1=$\frac{16}{x+1}$时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$有最小值，即x=3时，$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$的最小值为8；
故答案为2，8；3，8；

问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，依题意得：
y=$\frac{6400+10x+0.01{x}^{2}}{x}$=$\frac{x}{100}$+$\frac{6400}{x}$+10，
∵x＞0，
∴y=$\frac{x}{100}$+$\frac{6400}{x}$+10=$\frac{1}{100}$（x+$\frac{640000}{x}$）+10≥$\frac{2}{100}$$\sqrt{640000}$+10=16+10，
∴当x=$\frac{640000}{x}$，即x=800时，即x=800时，y取最小值26．
答：当学校学生人数为800人时，该校每天生均投入最低，最低费用是26元．

点评 本题考查了二次函数的应用：几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．也考查了阅读理解能力．