Question

1．a是不为1的有理数，我们把$\frac{1}{1-a}$称为a的差倒数，如：2的差倒数是 $\frac{1}{1-2}$=-1，-1的差倒数是 $\frac{1}{1-（-1）}$=$\frac{1}{2}$．已知a₁=-3，a₂是a₁的差倒数，a₃是a₂的差倒数，a₄是a₃的差倒数，…，依此类推，那么a₂₀₁₆=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 利用规定的运算方法，分别算得a₁，a₂，a₃，a₄…找出运算结果的循环规律，利用规律解决问题．

解答 解：∵a₁=-3，
a₂=$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-（-3）}$=$\frac{1}{4}$，
a₃=$\frac{1}{1-{a}_{2}}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
a₄=$\frac{1}{1-{a}_{3}}$=$\frac{1}{1-\frac{4}{3}}$=-3，
…
数列以-3，$\frac{1}{4}$，$\frac{4}{3}$三个数依次不断循环，
∵2016÷3=672，
∴a₂₀₁₆=a₃=$\frac{4}{3}$，
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题是对数字变化规律的考查，理解差倒数的定义并求出每3个数为一个循环组依次循环是解题的关键．