Question

如图所示，直线y=-3x-5分别交x轴、y轴于A、B两点，直线CD与x轴，y轴分别交于C、D两点，5OC=9OB，∠OCD=45°．
（1）求直线CD的解析式；
（2）点P（0，t）为线段OB上一点，过点P作x轴的平行线分别交直线AB、CD于点M、N，设MN的长度为d，求d与t之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，当过D、M、N三点的圆与x轴相切时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：综合题

分析：（1）求得直线y=-3x-5与y轴的交点，则OB的长度即可求解，然后根据5OC=9OB求得OD的长，得到D的坐标，然后根据∠OCD=45°得到△OCD是等腰直角三角形，则C的坐标即可求解，利用待定系数法即可求得直线CD的解析式；
（2）M、N两点的纵坐标都是t，在两个直线解析式中，令y=t，即可求得M、N的横坐标，则MN的长即可求得，即可求得函数解析式；
（3）利用t表示出圆心的坐标，过D、M、N三点的圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离，即点的纵坐标等到D的距离，据此即可列方程求得t，则P的坐标即可求解．

解答：解：（1）在y=-3x-5中，令x=0，解得：y=-5，则B的坐标是（0，-5），则OB=5，
∵5OC=9OB，
∴OB=9，
则B的坐标是（0，-9），
∵直角△OCD中，∠OCD=45°，
∴OC=OD，
∴C的坐标是（9，0）．
设直线CD的解析式是：y=kx+b，则

b=-9 9k+b=0

，
解得：

b=-9 k=1

，
则直线CD的解析式是：y=x-9；

（2）在y=-3x-5中，令y=t，解得：x=-

t+5

3

，
在y=x-9中，令y=t，解得：x=9+t，
则MN=（9+t）+

t+5

3

=

4t+32

3

，
则函数解析式是：d=

4t+32

3

；

（3）M的坐标是：（9+t，t），N的坐标是（-

t+5

3

，t），
则MN的中点的横坐标是：

23+t

4

，
则圆心M的坐标是（

23+t

4

，t），
则MD=

(t+9)2+( 23+t 4 )2

，
根据题意得：（t+9）²+（

23+t

4

）²=t²．
解得：t=12

181

-167．
则P的坐标是（0，12

181

-167）．

点评：本题考查了一次函数与直线和圆的位置关系，直线和圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径．