Question

14．如图①，E是直线AB，CD内部一点，AB∥CD，连接EA，ED．
（1）探究猜想：
①若∠A=20°，∠D=40°，则∠AED=60°
 ②猜想图①中∠AED，∠EAB，∠EDC的关系，并用两种不同的方法证明你的结论．
（2）拓展应用：
如图②，射线FE与l₁，l₂交于分别交于点E、F，AB∥CD，a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域a，b位于直线AB上方，P是位于以上四个区域上的点，猜想：∠PEB，∠PFC，∠EPF的关系（任写出两种，可直接写答案）．

Answer 1

分析 （1）①过E作EF∥AB，根据AB∥CD，可得AB∥EF∥CD，再根据两直线平行，内错角相等进行计算即可；
②作辅助线构造内错角，依据两直线平行，内错角相等或三角形外角性质，进行计算即可；
（2）根据a，b，c，d分别是被射线FE隔开的4个区域，P是位于四个区域上的点，画出对应的图形，进而得出结论．

解答 解：（1）①过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A=∠AEF=20°，∠D=∠DEF=40°，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠A+∠D=60°，
故答案为：60；

②∠AED=∠A+∠D，
证明：方法一、延长DE交AB于F，如图1，

∵AB∥CD，
∴∠DFA=∠D，
∴∠AED=∠A+∠DFA；

方法二、过E作EF∥AB，如图2，

∵AB∥CD，
∴AB∥EF∥CD，
∴∠A=∠AEF，∠D=∠DEF，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF=∠A+∠D；

（2）当P在a区域时，如图3，∠PEB=∠PFC+∠EPF；

当P点在b区域时，如图4，∠PFC=∠PEB+∠EPF；

当P点在区域c时，如图5，∠EPF+∠PEB+∠PFC=360°；

当P点在区域d时，如图6，∠EPF=∠PEB+∠PFC．

点评 本题主要考查了平行线的性质，以及三角形外角性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等．