如图.在Rt△ABC中.∠ABC=90°.AC=10cm.BC=8cm.点D是线段AC的中点.动点P从点A出发.沿A-D-B-C向终点C运动.速度为5cm/s.当点P不与点A.B重合时.作PE⊥AB交线段AB于点E.设点P的运动时间为t(s).△APE的面积为S(cm2)．(1)求AB的长,(2)当点P在线段BD上时.求PE的长,(3)当P沿A-D-B运动时.求S与t之间的函数关� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，BC=8cm，点D是线段AC的中点，动点P从点A出发，沿A-D-B-C向终点C运动，速度为5cm/s，当点P不与点A，B重合时，作PE⊥AB交线段AB于点E，设点P的运动时间为t（s），△APE的面积为S（cm²）．
（1）求AB的长；
（2）当点P在线段BD上时，求PE的长（用含t的式子表示）；
（3）当P沿A-D-B运动时，求S与t之间的函数关系式；
（4）点E关于直线AP的对称点为E′，当点E′落在△ABC的内部时，直接写出t的取值范围．

分析（1）在Rt△ABC中，根据勾股定理即可解决问题．
（2）只要证明△PBE∽△CAB，可得$\frac{PE}{PB}$=$\frac{BC}{AC}$，由此即可解决问题．
（3）分两种情形讨论①当0＜t≤1时．②当1＜t＜2时，根据三角形的面积公式求出AE、PE即可解决问题．
（4）求出两个特殊点的时间①如图1中，当点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．如图2中，当点P在BC上，点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．即可解决问题．

解答解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10cm，BC=8cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{8}^{2}}$=6，
即AB的长为6；

（2）∵PE⊥AB，BC⊥AB，
∴PE∥BC，∠ABC=∠BEP=90°，
∴∠EPB=∠PBC，
∵点D为AC中点，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$AC，
∴∠DBC=∠DCB，
∴∠EPB=∠DCB，
∴△PBE∽△CAB，
∴$\frac{PE}{PB}$=$\frac{BC}{AC}$，
∴$\frac{PE}{10-5t}$=$\frac{8}{10}$，
∵BP=10-5t，
∴PE=8-4t．

（3）当0＜t≤1时
AE=5t×$\frac{3}{5}$=3t，PE=5t×$\frac{4}{5}$=4t，
S=$\frac{1}{2}$•PE•AE=$\frac{1}{2}$•4t•3t=6t²，
∴S=6t²．
当1＜t＜2时，
AE=6-（10-5t）$\frac{3}{5}$=3t，PE=（10-5t）×$\frac{4}{5}$=8-4t，
S=$\frac{1}{2}$•PE•AE=$\frac{1}{2}$•3t•（8-4t）=-6t²+12t．
∴S=-6t²+12t，
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{6{t}^{2}}&{（0＜t≤1）}\\{-6{t}^{2}+12t}&{（1＜t＜2）}\end{array}\right.$．

（4）如图1中，当点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．作PE′⊥AC于E′，则PE=PE′

∵$\frac{{S}_{△APB}}{{S}_{△APD}}$=$\frac{\frac{1}{2}•AB•PE}{\frac{1}{2}•AD•PE′}$=$\frac{PB}{PD}$，
∴$\frac{AB}{AD}$=$\frac{PB}{PD}$，
∴$\frac{6}{5}$=$\frac{5-PD}{PD}$，
∴PD=$\frac{25}{11}$，
∴点P运动的时间=（5+$\frac{25}{11}$）÷5=$\frac{16}{11}$s，
观察图象可知当$\frac{16}{11}$＜t＜2时，当点E′落在△ABC的内部．

如图2中，当点P在BC上，点E关于AP的对称点E′在线段AC上时．

同理可得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{PB}{PC}$，
∴$\frac{6}{10}$=$\frac{PB}{8-PB}$，
∴PB=3，
∴∴点P运动的时间=（5+5+3）÷5=$\frac{13}{5}$s
观察图象可知当2＜t＜$\frac{13}{5}$时，当点E′落在△ABC的内部．
综上所述，当$\frac{16}{11}$＜t＜2或2＜t＜$\frac{13}{5}$时，当点E′落在△ABC的内部．