Question

10．如图，在等边三角形ABC中，D是BC边的中点，E是AB延长线上的一点，且BE=BD，过点D作DH⊥AB于H．
（1）求∠BAD和∠BDE的度数；
（2）求证：点H是AE的中点．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形的三线合一，可得∠DAB=30°，根据∠ABC=60°，BD=BE，推出∠E=30°．
（2）要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE△为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．

解答 （1）解：∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DAB=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°，∠ABC=60°，
∵BE=BD，
∴∠BDE=∠E，
∵∠ABC=∠BDE+∠E，
∴∠BDE=∠E=30°，
∴∠BAD=30°，∠BDE=30°．

（2）证明：由（1）可知，∠DAB=∠E=30°
∴AD=ED，△ADE为等腰三角形，
又∵DH⊥AE，
∴H是AE的中点．

点评 本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．