Question

14．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，连接AD．
（1）如图1，E是AC的中点，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′，当AD=$\sqrt{6}$时，求AE的值．
（2）如图2，在AC上取一点E，使得CE=$\frac{1}{3}$AC，连接DE，将△CDE沿CD翻折到△CDE′，连接AE′交BC于点F，求证：DF=CF．

Answer 1

分析 （1）根据折叠的性质以及等腰直角三角形的性质，得出CE'和AC的长，再根据勾股定理即可得到AE的值．
（2）过B作AE’的垂线交AD于点G，交AC于点H，判定△ABH≌△CAE'，得出AH=CE’=CE，进而得到G是AD中点，再判定△ABG≌△CAF，得到AG=CF，根据AG=$\frac{1}{2}$AD，可得到DF=CF．

解答 解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，D是斜边BC的中点，
∴∠ADC=90°，∠ACD=45°，
在Rt△ADC中，AC=AD×sin45°=2$\sqrt{3}$，
∵E是AC的中点，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∵将△CDE沿CD翻折到△CDE'，
∴CE=CE'=$\sqrt{3}$，∠ACE'=90°，
由勾股定理得：AE=$\sqrt{C{E}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{15}$；

（2）证明：过B作AE’的垂线交AD于点G，交AC于点H，
∵∠ABH+∠BAF=90°，∠CAF+∠BAF=90°，
∴∠ABH=∠CAF，
又∵AB=AC，∠BAH=∠ACE’=90°，
∴△ABH≌△CAE'，
∴AH=CE’=CE，
∵CE=$\frac{1}{3}$AC，
∴AH=HE=CE，
∵D是BC中点，
∴DE是△BCH的中位线，
∴DE∥BH，
∴G是AD中点，
∵在△ABG和△CAF中，AB=AC，∠BAD=∠ACD=45°，∠ABH=∠CAF，
∴△ABG≌△CAF，
∴AG=CF，
∵AG=$\frac{1}{2}$AD，
∴CF=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$CD，
∴DF=CF．

点评 本题主要考查了折叠问题，勾股定理以及全等三角形的判定与性质的运用，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形．