已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.点A的坐标为(4.0).且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．(1)求实数a.b的值,(2)如图1.动点E.F同时从A点出发.其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动.点F以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时.点F随之停止运� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．已知二次函数y=ax²+bx-2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．
（1）求实数a、b的值；
（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒$\sqrt{5}$个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．
①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式．

分析（1）根据抛物线图象经过点A以及“当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等”两个条件，列出方程组求出待定系数的值．
（2）①首先由抛物线解析式能得到点A、B、C三点的坐标，则线段OA、OB、OC的长可求，进一步能得出AB、BC、AC的长；首先用t 表示出线段AD、AE、AF（即DF）的长，则根据AE、EF、OA、OC的长以及公共角∠OAC能判定△AEF、△AOC相似，那么△AEF也是一个直角三角形，及∠AEF是直角；若△DCF是直角，可分成三种情况讨论：
i）、点C为直角顶点，由于△ABC恰好是直角三角形，且以点C为直角顶点，所以此时点B、D重合，由此得到AD的长，进而求出t的值；
ii）、点D为直角顶点，此时∠CDB与∠CBD恰好是等角的余角，由此可证得OB=OD，再得到AD的长后可求出t的值；
iii）、点F为直角顶点，当点F在线段AC上时，∠DFC是锐角，而点F在射线AC的延长线上时，∠DFC又是钝角，所以这种情况不符合题意．
②此题需要分三种情况讨论：
i）、当点E在点A与线段AB中点之间时，两个三角形的重叠部分是整个△DEF；
ii）、当点E在线段AB中点与点O之间时，重叠部分是个不规则四边形，那么其面积可由大直角三角形与小钝角三角形的面积差求得；
iii）、当点E在线段OB上时，重叠部分是个小直角三角形．

解答解：（1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-2=0}\\{4a-2b-2=25a+5b-2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$．

（2）①由（1）知二次函数为y=$\frac{1}{2}$x²-$\frac{3}{2}$x-2
∵A（4，0），
∴B（-1，0），C（0，-2）
∴OA=4，OB=1，OC=2
∴AB=5，AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{5}$
∴AC²+BC²=25=AB²
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°
∵AE=2t，AF=$\sqrt{5}$t，
∴$\frac{AF}{AE}$=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
又∵∠EAF=∠CAB，
∴△AEF∽△ACB
∴∠AEF=∠ACB=90°
∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点D处；
由翻折知，DE=AE，
∴AD=2AE=4t，EF=$\frac{1}{2}$AE=t
假设△DCF为直角三角形
当点F在线段AC上时
ⅰ）若C为直角顶点，则点D与点B重合，如图2
∴AE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{5}{2}$t=$\frac{5}{2}$÷2=$\frac{5}{4}$；
ⅱ）若D为直角顶点，如图3
∵∠CDF=90°，
∴∠ODC+∠EDF=90°
∵∠EDF=∠EAF，
∴∠OBC+∠EAF=90°
∴∠ODC=∠OBC，
∴BC=DC
∵OC⊥BD，
∴OD=OB=1
∴AD=3，
∴AE=$\frac{3}{2}$
∴t=$\frac{3}{4}$；
当点F在AC延长线上时，∠DFC＞90°，△DCF为钝角三角形
综上所述，存在时刻t，使得△DCF为直角三角形，t=$\frac{3}{4}$或t=$\frac{5}{4}$．
②ⅰ）当0＜t≤$\frac{5}{4}$时，重叠部分为△DEF，如图1、图2
∴S=$\frac{1}{2}$×2t×t=t²；
ⅱ）当$\frac{5}{4}$＜t≤2时，设DF与BC相交于点G，则重叠部分为四边形BEFG，如图4
过点G作GH⊥BE于H，设GH=m
则BH=$\frac{m}{2}$，DH=2m，∴DB=$\frac{3m}{2}$
∵DB=AD-AB=4t-5
∴$\frac{3m}{2}$=4t-5，
∴m=$\frac{2}{3}$（4t-5）
∴S=S_△DEF-S_△DBG=$\frac{1}{2}$×2t×t-$\frac{1}{2}$（4t-5）×$\frac{2}{3}$（4t-5）=-$\frac{13}{3}$t²+$\frac{40}{3}$t-$\frac{25}{3}$；
ⅲ）当2＜t≤$\frac{5}{2}$时，重叠部分为△BEG，如图5
∵BE=DE-DB=2t-（4t-5）=5-2t，GE=2BE=2（5-2t）
∴S=$\frac{1}{2}$×（5-2t）×2（5-2t）=4t²-20t+25．

点评此题主要考查的是动点函数问题，涉及了函数解析式的确定、直角三角形以及相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及图形面积的解法等综合知识；第二题的两个小题涉及的情况较多，一定要根据动点的不同位置来分类讨论，抓住动点的关键位置来确定未知数的取值范围是解题的关键所在．

	A．	不在同一条直线上的三个点确定一个圆
	B．	相等的圆心角所对的弧相等
	C．	平分弦的直径垂直于弦
	D．	在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等

试题分类