Question

1．如图，AB为⊙O的直径，点D，E为⊙O上的两个点，延长AD至C，使∠CBD=∠BED．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）当点E为弧AD的中点且∠BED=30°时，⊙O半径为2，求DF的长度．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，得到∠ADB=90°，根据圆周角定理得到∠A=∠E，得到AB⊥BC，于是得到结论；
（2）根据圆周角定理得到∠A=∠E=∠CBD=30°，得到∠DBA=60°，根据三角函数的定义即可得到结论．

解答 （1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠A+∠DBA=90°，
∵$\widehat{BD}$=$\widehat{BD}$，
∴∠A=∠E，
∵∠CBD=∠E，
∴∠CBD=∠A，
∴∠CBD+∠DBA=90°，
∴AB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，

（2）解：∵∠BED=30°，
∴∠A=∠E=∠CBD=30°，
∴∠DBA=60°，
∵点E为弧AD的中点，
∴∠EBD=∠EBA=30°，
∵⊙O半径为2，
∴AB=4，BD=2，AD=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BDF中，∠DBF=90°，
tan∠DBF=$\frac{DF}{BD}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴DF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，三角函数的定义，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．