Question

如图，AB是半圆O的直径，点C、D、E是半圆弧上的点，且弦AC=CD=2，弦DE=EB=

2

，则直径AB的长是（　　）

• A、2

  5

• B、2

  2

• C、3

  2

• D、4

  2

Answer 1

考点：圆心角、弧、弦的关系,勾股定理,等腰直角三角形

专题：计算题

分析：连结CE，过点C作CH⊥DE于H，如图，设半圆O的半径为r，由于AC=CD=2，弦DE=EB=

2

，根据圆心角、弧、弦的关系得到∠AOC=∠COD，∠DOE=∠BOE，则∠COE=90°，于是可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE=

2

OC=

2

r，再根据圆周角定理得∠1=

1

2

∠DOE，∠2=

1

2

∠COD，则∠1+∠2=

1

2

∠COE=45°，于是根据三角形外角性质得∠3=∠1+∠2=45°，所以△CDH为等腰直角三角形，得到CH=DH=

2

2

CD=

2

，然后在Rt△CHE中根据勾股定理计算出CE=

10

，即有

2

r=

10

，求出r则可得到AB的长．

解答：解：连结CE，过点C作CH⊥DE于H，
如图，设半圆O的半径为r，
∵AC=CD=2，弦DE=EB=

2

，
∴∠AOC=∠COD，∠DOE=∠BOE，
∴∠COD+∠DOE=

1

2

∠AOB=90°，即∠COE=90°，
∴△OCE为等腰直角三角形，
∴CE=

2

OC=

2

r，
∵∠1=

1

2

∠DOE，∠2=

1

2

∠COD，
∴∠1+∠2=

1

2

∠COE=45°，
∴∠3=∠1+∠2=45°，
∴△CDH为等腰直角三角形，
∴CH=DH=

2

2

CD=

2

，
∴EH=DE+DH=2

2

，
在Rt△CHE中，CE=

CH2+HE2

=

( 2 )2+(2 2 )2

=

10

，
∴

2

r=

10

，
∴r=

5

，
∴AB=2r=2

5

．
故选A．

点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．