Question

15．如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC²=PE•PO．
（1）求证：PC是⊙O的切线．
（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，由PC²=PE•PO和公共角可判断△PCE∽△POC，则∠PEC=∠PCO=90°，然后根据切线的判定定理可判断PC是⊙O的切线；
（2）设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，证明△OCE∽△OPC，利用相似比可表示出OP，则可列方程3x+6=9x，然后解出x即可得到⊙O的半径．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵CD⊥AB，
∴∠PEC=90°，
∵PC²=PE•PO，
∴PC：PO=PE：PC，
而∠CPE=∠OPC，
∴△PCE∽△POC，
∴∠PEC=∠PCO=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，
∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP，
∴△OCE∽△OPC，
∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x，
∴3x+6=9x，解得x=1，
∴OC=3，
即⊙O的半径为3．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．也考查了切线的判定方法．