Question

8．如图，点A在数轴上表示的数是-4，点B表示的数是+8，P，Q两点同时分别以1个单位/秒和2个单位/秒的速度从A，B两点出发，沿数轴运动，设运动时间为t（秒）．
（1）线段AB的长度为12个单位；
（2）如果点P向右运动，点Q向左运动，几秒后PQ=$\frac{1}{2}$AB？
（3）如果点P，Q同时向左运动，M，N分别是PA和BQ的中点，是否存在这样的时间t使得线段MN=$\frac{1}{4}$AB？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据数轴可得AB的长度；
（2）此题分两种情况：①当P、Q相遇前12-（t+2t）=$\frac{1}{2}$×12；②当P、Q相遇后（1+2）（t-4）=$\frac{1}{2}$×12，分别计算出t的值即可；
（3）此题分两种情况讨论：①当M在N左边时，MN=MB-BN；②当M在N右边时，MN=BN-MB，然后分别列出方程，再求解即可．

解答 解：（1）8+4=12，
故答案为：12；

（2）①当P、Q相遇前，12-（t+2t）=$\frac{1}{2}$×12，
3t=6，
t=2，
②当P、Q相遇后，
∵12÷3=4（s）
（1+2）（t-4）=$\frac{1}{2}$×12，
3t-12=6，
t=6，
综上，2秒或6秒后，PQ=$\frac{1}{2}$AB；

（3）因为M为PA中点，所以PM=$\frac{1}{2}$t，MB=12+$\frac{1}{2}$t，
因为N为QB中点，所以NB=t，
①当M在N左边时，MN=MB-BN=12+$\frac{1}{2}$t-t=12-$\frac{1}{2}$t，
12-$\frac{1}{2}$t=12×$\frac{1}{4}$，
t=18，
②当M在N右边时，MN=BN-MB=t-（12+$\frac{1}{2}$t）=$\frac{1}{2}$t-12，
$\frac{1}{2}$t-12=12×$\frac{1}{4}$，
t=30，
综上，当t=18或t=30时，MN=$\frac{1}{4}$AB．

点评 此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出出等量关系，利用数形结合，列出方程，注意要分类讨论，不要漏解．