Question

19．如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，交AB的延长线于点E，过点A作AD⊥CE于点D，连接AC．
（1）求证：∠DAC=∠CAE；
（2）若∠CAB=30°，CE=3$\sqrt{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图，根据切线的性质得OC⊥CE，加上AD⊥CE，则根据平行线的判定可得OC∥AD，则∠2=∠3，然后利用等量代换可得∠1=∠2；
（2）先利用三角形外角性质可得∠COE，然后在Rt△OCE中利用三角函数计算OC的长．

解答 （1）证明：连结OC，如图，
∵直线l与⊙O相切于点C，
∴OC⊥CE，
∵AD⊥CE，
∴OC∥AD，
∴∠2=∠3，
∵OC=OA，
∴∠1=∠3，
∴1=∠2，
即∠DAC=∠CAE；
（2）解：∵∠COE=∠1+∠3=2∠1=2×30°=60°，
在Rt△OCE中，∵tan∠COE=$\frac{CE}{OC}$，
∴OC=$\frac{3\sqrt{3}}{tan60°}$=3，
即⊙O的半径为3．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．解决（1）小题的关键是证明OC∥AD．