Question

19．如图，四边形ABCD为矩形，AB=6，BC=8，E为AB的中点，将矩形ABCD折叠，使得点D与点E重合，折痕为MN，则折痕MN的长度为$\frac{3\sqrt{73}}{4}$．

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先运用勾股定理、翻折变换的性质等几何知识求出AM、BN、CN的长度，然后借助三角形的面积公式列出关于线段MN的方程，求出MN即可解决问题．

解答 解：如图，过M作MF⊥BC，垂足为F；
∵四边形ABCD为矩形，且点E为AB的中点，
∴∠B=∠C=∠A=90°，DC=AB=6，
AD=BC=8，AE=3，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{73}$；
再由翻折的性质可知MN垂直平分DE，
故∠MGD=90°，∠NMD+∠GDM=90°
又易知MF⊥AD，即∠FMN+∠NMD=90°
∴∠GDM=∠FMN，
∴Rt△EAD∽Rt△NFM
则有$\frac{MN}{DE}=\frac{MF}{DA}$
求得MN=$\frac{3\sqrt{73}}{4}$．
故答案为$\frac{3\sqrt{73}}{4}$．

点评 该题主要考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质等几何知识点来分析、判断、解答．