Question

10．如图，AB是⊙O的直径，弦AC=8cm，BC=6cm，若动点E以2cm/s的速度从A向B运动，点F以1cm/s的速度从B向C运动，设运动时间为t（s），连接EF，当△BEF是直角三角形时，求t（s）的值．

Answer 1

分析 应分两种情况进行讨论，当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，根据△BEF∽△BAC，可将时间t求出；当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，根据△BEF∽△BCA，可将时间t求出．

解答 解：∵AB是⊙O的直径，弦AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10$，
根据题意得：BE=（10-2t）cm，BF=tcm；
如图（2），

当EF⊥BC时，△BEF为直角三角形，
∴△BEF∽△BAC；
∴$\frac{BE}{BA}=\frac{BF}{BC}$，
即：$\frac{10-2t}{10}=\frac{t}{6}$，
解得：t=$\frac{30}{11}$；
如图（3），

当EF⊥BA时，△BEF为直角三角形，
∴△BEF∽△BCA，
∴$\frac{BE}{BC}=\frac{BF}{BA}$，
即：$\frac{10-2t}{6}=\frac{t}{10}$，
解得：t=$\frac{50}{13}$；
∴当t=$\frac{30}{11}$s或t=$\frac{50}{13}$s时，△BEF为直角三角形，．

点评 本题考查圆周角定理、相似三角形的性质、直角三角形的性质等知识的综合应用能力．解决本题的关键是在求时间t时应分情况进行讨论，防止漏解．