Question

11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，△CAD≌△CED，△CEF≌△BEF，△CEF≌△CAD．
（1）求∠A，∠B的度数；
（2）猜想AC，EF的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△CAD≌△CED，△CEF≌△CAD，根据全等三角形的对应角相等可得∠ADC=∠ACD=∠ECD，∠ECF=∠ACD，则∠ACB=3∠ECF=90°，∠ECF=30°，再由△CEF≌△BEF，得出∠ECF=∠B=30°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠A=60°；
（2）由△CEF≌△BEF，得出∠CFE=∠BFE，又∠CFE+∠BFE=180°，求出∠CFE=90°，在直角△CEF中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出EF=$\frac{1}{2}$CE，又由△CAD≌△CED，得出AC=CE，等量代换得到EF=$\frac{1}{2}$AC．

解答 解：（1）∵△CAD≌△CED，△CEF≌△CAD，
∴∠ADC=∠ACD=∠ECD，∠ECF=∠ACD，
∴∠ACB=∠ACD+∠ECD+∠ECF=3∠ECF=90°，
解得∠ECF=30°，
∵△CEF≌△BEF，
∴∠ECF=∠B=30°，
∴∠A=90°-∠B=60°；

（2）EF=$\frac{1}{2}$AC，理由如下：
∵△CEF≌△BEF，
∴∠CFE=∠BFE，
∵∠CFE+∠BFE=180°，
∴∠CFE=90°．
∵在直角△CEF中，∠CFE=90°，∠ECF=30°，
∴EF=$\frac{1}{2}$CE，
又△CAD≌△CED，
∴AC=CE，
∴EF=$\frac{1}{2}$AC．

点评 本题考查了全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等的性质，直角三角形两锐角互余的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，求出∠B=30°是解题的关键．