Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，⊙M交x轴于A，B两点，交y轴于C，
D两点，且C为弧AE的中点，AE交y轴于G点，若点A的坐标为（-2，0），AE=8．
（1）求点C的坐标；
（2）连接MG，BC，求证：MG∥BC．

Answer 1

分析 （1）连结MC交AE于H，如图，由于C为弧AE的中点，根据垂径定理得到MC⊥AE，AH=EH=$\frac{1}{2}$AE=4，再证明△AMH≌△CMO得到AH=OC=4，于是可得到C点坐标；
（2）延长MG交AC于N，如图，由于AB⊥CD，根据垂径定理得到弧AC=弧AD，加上C为弧AE的中点，则弧AD=弧CE，根据圆周角定理得∠CAE=∠ACD，则GA=GC，根据垂直平分线定理的逆定理可判断MN垂直平分AC，
接着根据圆周角定理由AB为直径得到∠ACB=90°，然后根据平行线的判定方法即可得到MG∥BC．

解答 （1）证明：连结MC交AE于H，如图，
∵C为弧AE的中点，
∴MC⊥AE，AH=EH=$\frac{1}{2}$AE=4，
在△AMH和△CMO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AHM=∠COM}\\{∠AMH=∠CMO}\\{MA=MC}\end{array}\right.$，
∴△AMH≌△CMO，
∴AH=OC=4，
∴C点坐标为（0，4）；
（2）证明：延长MG交AC于N，如图，
∵AB⊥CD，
∴弧AC=弧AD，
而C为弧AE的中点，
∴弧AD=弧CE，
∴∠CAE=∠ACD，
∴GA=GC，
而MC=MA，
∴MN垂直平分AC，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∴MG∥BC．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和圆周角定理；会运用全等三角形的判定与性质证明线段相等；理解坐标与图形性质．