Question

13．如图，将△ABC放置在平面直角坐标系中，点C在x轴上，∠ABC=90°，∠ACB=45°，AB=BC，x轴平分∠ACB，AC交y轴于点E，BC交y轴于点G，AB交x轴于点H．
（1）求证：∠FAH=∠HCB；
（2）求证：AF=$\frac{1}{2}$CH．

Answer 1

分析 （1）先判断△ABC为等腰直角三角形得到∠ABC=90°，根据根据对顶角相等和三角形内角和定理可证明∠FAH=∠HCB；
（2）延长AF与CB，它们相交于点M，如图，利用“ASA”可证明△ABM≌△CBH，则AM=CH，再利用等腰三角形的判定与性质得到AF=$\frac{1}{2}$AM，于是有AF=$\frac{1}{2}$CH．

解答 证明：（1）∵ACB=45°，AB=BC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠ABC=90°，
∵∠AFC=∠ABC=90°，∠1=∠2，
∴∠FAH=∠HCB；
（2）延长AF与CB，它们相交于点M，如图，
在△ABM和△CBH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAB=∠HCB}\\{AB=CB}\\{∠ABM=∠CBH}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△CBH，
∴AM=CH，
∵x轴平分∠ACB，即CF平分∠ACM，
∵CF⊥AM，
∴AF=FM，即AF=$\frac{1}{2}$AM，
∴AF=$\frac{1}{2}$CH．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．解决本题的关键是构建△ABM与△CBH全等．