题目内容
12．平行四边形ABCD在平面直角坐标系中如图放置，A、B、C三点均在坐标轴上，AD=6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2-7x+12=0的两个根，且OA＞OB．（1）求C、D两点的坐标；
（2）在y轴上是否存一点M，使得以A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，试求出M点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）连结BD交AC于点E，连结OD交AC于点P，求PE：PC的值．
分析 （1）先求出OA，OB的长，即可求出OC，即可得出结论；
（2）分三种情况，利用等腰三角形的性质建立方程即可求出点M的坐标；
（3）先判断出△POC∽△PDA即可求出PC，再求出PE即可得出结论．
解答 解：（1）解x2-7x+12=0，得，x=4或x=3，
∵OA＞OB，
∴OA=4，OB=3，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∴OC=BC-OB=6-3=3，
∴C（3，0），D（6，4）；
（2）存在，分三种情况讨论：
①以点A为顶点时，AB=AM，
∵在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
∴AB=5，
∵点M在y轴上，
∴AM=5，
∴M（0，9）或（0，-1），
②以点B为顶点时，BM=AB=5，
∴M（0，-4），
③如图，
以点M为顶点时，作AB的垂直平分线，分别交y轴，AB于点M，F，
∵∠AFM=90°，
∴△AFM∽△AOB，
∴$\frac{AF}{AO}=\frac{AM}{AB}$，
∴AM=$\frac{25}{8}$，
∴M（0，$\frac{7}{8}$），
即：（0，9）或（0，-1）或（0，-4）或（0，$\frac{7}{8}$）．
（3）在Rt△AOC中，OA=4，OC=3，
∴AC=5，
∵AD∥OC，
∴△POC∽△PDA，
∴$\frac{PC}{AP}=\frac{OC}{AD}$=$\frac{3}{6}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PC}{AC}=\frac{1}{3}$，
∴PC=$\frac{5}{3}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CE=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{5}{2}$，
∴PE=$\frac{5}{6}$，
∴PE：PC=$\frac{5}{6}$：$\frac{5}{3}$=1：2．
点评 此题是相似形综合题，主要考查了平行四边形的性质，解一元二次方程，等腰三角形的性质，平行四边形的性质，解本题的关键是用方程的思想思考问题．
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如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，AB=12厘米，点P从A出发沿线路AB-BC作匀速运动，点Q从AC的中点D同时出发沿线路DC-CB作匀速运动逐步靠近点P．设两点P、Q的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒（a＞1），它们在t秒后于BC边上的某一点E相遇． 
如图，四边形ABCD中，AD=BC，P是四边形ABCD外一点，且PA=PD，PB=PC，∠APB=∠DPC．
已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$．