Question

3．如图，四边形ABCD中，AD=BC，P是四边形ABCD外一点，且PA=PD，PB=PC，∠APB=∠DPC．
（1）求证：∠ABC=∠DCB；
（2）求证：四边形ABCD是矩形．

Answer 1

分析 （1）由全等三角形的判定定理SAS推知△ABP≌△DCP，根据该全等三角形的对应角相等、等腰三角形的性质推知∠ABC=∠DCB；
（2）由“有一内角是直角的平行四边形为矩形”证得结论．

解答 （1）证明：在△ABP和△DCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PD}\\{∠APB=∠DPC}\\{PB=PC}\end{array}\right.$
∴△ABP≌△DCP（SAS）．
∴∠ABP=∠DCP．
∵PB=PC，
∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABP+∠PBC=∠DCP+∠PCB．
即∠ABC=∠DCB；

（2）证明：∵△ABP≌△DCP，
∴AB=CD．
∵AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC．
∴∠ABC+∠DCB=180°．
∵∠ABC=∠DCB，
∴2∠ABC=180°．即∠ABC=90°．
∴四边形ABCD是矩形．

点评 此题主要考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，关键是掌握有一内角是直角的平行四边形为矩形．