Question

4．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A、C的坐标分别为A（-3，0），C（1，0），$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$．
（1）求过点A、B的直线的函数表达式；
（2）在x轴上找一点D，连接DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，如P、Q分别是AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似？如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据A（-3，1），C（1，0），求出AC进而得出BC=3求出B点坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（2）运用相似三角形的性质就可求出点D的坐标；
（3）由于△APQ与△ADB已有一组公共角相等，只需分△APQ∽△ABD和△APQ∽△ADB两种情况讨论，然后运用相似三角形的性质建立关于m的方程，就可解决问题．

解答 解：（1）∵A（-3，0），C（1，0），
∴AC=4，
∵BC=$\frac{3}{4}$AC，
∴BC=$\frac{3}{4}$×4=3，
∴B（1，3），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{3}{4}}\\{b=\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{9}{4}$；

（2）若△ADB与△ABC相似，
①当点D与C重合时，△ADB∽△ABC，此时D（1，0），
②过点B作BD⊥AB交x轴于D，∴∠ABD=∠ACB=90°，如图1，

此时 $\frac{AB}{AC}$=$\frac{AD}{AB}$，即AB²=AC•AD．
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴25=4AD，
∴AD=$\frac{25}{4}$，
∴OD=AD-AO=$\frac{25}{4}$-3=$\frac{13}{4}$，
∴点D的坐标为（ $\frac{13}{4}$，0）．
即：符合条件的D（ $\frac{13}{4}$，0）和（1，0）

（3）∵AP=DQ=m，
∴AQ=AD-QD=$\frac{25}{m}$-m．
Ⅰ、若△APQ∽△ABD，如图2，

则有 $\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AD}$，
∴AP•AD=AB•AQ，
∴$\frac{25}{4}$m=5（ $\frac{25}{4}$-m），
解得m=$\frac{25}{9}$；
Ⅱ、若△APQ∽△ADB，如图3，

则有 $\frac{AP}{AD}$=$\frac{AQ}{AB}$，
∴AP•AB=AD•AQ，
∴5m=$\frac{25}{4}$（ $\frac{25}{4}$-m），
解得：m=$\frac{125}{36}$，
综上所述：符合要求的m的值为 $\frac{125}{36}$或 $\frac{25}{9}$．

点评 本题考查是相似形综合题、待定系数法、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．