Question

17．拓广探索：七年某班师生为了解决“2²⁰¹⁴个位上的数字是4．”这个问题，通过观察、分析、猜想、验证、归纳等活动，从而使问题得以解决，体现了从特殊到一般的数学思想方法．师生共同探索如下：
（1）认真填空，仔细观察．
因为2¹=2，所以2¹个位上的数字是2；因为 2²=4，所以2²个位上的数字是4；因为 2³=8，所以 2³个位上的数字是8；因为 2⁴=16，所以2⁴个位上的数字是6；因为 2⁵=32，所以 2⁵个位上的数字是2；因为 2⁶=64，所以2⁶个位上的数字是4；
（2）小明是个爱动脑筋的学生，他利用上述方法继续探索，马上发现了规律，于是猜想：2¹⁰个位上的数字是4，你认为对吗？
（3）利用上述得到的规律，可知：2²⁰¹³个位上的数字是2．
（4）利用上述研究数学问题的思想与方法，试求：3²⁰¹⁴个位上的数字是9．

Answer 1

分析 （1）根据指数运算法则直接求出各数即可；
（2）利用（1）中所求得出尾数每4个一循环分别为：2，4，8，6，进一步计算得出2¹⁰个位上的数字是4；
（3）利用（2）中的规律得出答案；
（4）利用（2）中规律得出3的指数变化与尾数的关系．

解答 解：（1）因为2¹=2，所以2¹个位上的数字是2；
因为2²=4，所以2²个位上的数字是4；
因为2³=8，所以2³个位上的数字是8；
因为2⁴=16，所以2⁴个位上的数字是6；
因为2⁵=32，所以2⁵个位上的数字是2；
因为2⁶=64，所以2⁶个位上的数字是4；

（2）由（1）可得出：尾数每4个一循环分别为：2，4，8，6尾数每4个一循环，
10÷4=2…2，
则2¹⁰个位上的数字与第2个数据相等是4；

（3）∵2013÷4=503…1，
∴2²⁰¹³个位上的数字与第1个尾数相等是2；

（4）因为3¹=3，所以3¹个位上的数字是3；
因为3²=9，所以3²个位上的数字是9；
因为3³=27，所以3³个位上的数字是7；
因为3⁴=81，所以3⁴个位上的数字是1；
因为3⁵=243，所以3⁵个位上的数字是3；
…
∴尾数每4个一循环，
∵2014÷4=503…2，
∴3²⁰¹⁴个位上的数字是9．
故答案为：4；16，6；32，2；64，4；2；9．

点评 此题主要考查了数字尾数特征，根据指数的变化得出位置的变化规律是解题关键．