Question

10．欲用长为50m的篱笆，一面靠墙（墙的长度是20m），围成一个长方形花圃，设BC边的长为xm，花圃的面积为ym²，求：
（1）y关于x的函数解析式；
（2）围成的花圃面积最大是多少？

Answer 1

分析 （1）先表示AB=$\frac{50-x}{2}$，代入长方形面积公式可求出y关于x的函数解析式y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+25x；
（2）根据墙的长度是20m得出x的取值为：x≤20，利用配方法将解析式化为顶点式，根据二次项系数为负数写出抛物线的增减性，当x＜25时，y随x的增大而增大，得当x=20时，y有最大值，代入计算即可．

解答 解：（1）由题意得：AB=$\frac{50-x}{2}$=-$\frac{1}{2}$x+25，
y=AB•BC=x（-$\frac{1}{2}$x+25）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+25x，
∴y关于x的函数解析式：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+25x；
（2）∵墙的长度是20m，
∴x≤20，
y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+25x=-$\frac{1}{2}$（x²-50x+625-625）=-$\frac{1}{2}$（x-25）²+312.5，
∵-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x＜25时，y随x的增大而增大，
∴当x=20时，y有最大值，
y_最大值=-$\frac{1}{2}$（20-25）²+312.5=300，
答：围成的花圃面积最大是300m²．

点评 本题是二次函数的应用，属于几何图形面积问题，考查了二次函数的性质及长方形面积，此类题利用面积公式可求得解析式，根据墙长得自变量x的取值，最大值问题就是二次函数的顶点问题，与图形相结合，本题中的二次函数的顶点不符合最大值，即不在取值范围内，因此这时的最大值根据增减性来判断．