题目内容
16．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三阶等腰线”．例如：如图①，线段BD、CE把一个顶角为36°的等腰△ABC分成了3个等腰三角形，则线段BD、CE就是等腰△ABC的“三阶等腰线”．
（1）图②是一个顶角为45°的等腰三角形，在图中画出“三阶等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数；
（2）如图③，在BC边上取一点D，令AD=CD可以分割出第一个等腰△ACD，接着仅需要考虑如何将△ABD分成2个等腰三角形，即可画出所需要的“三阶等腰线”，类比该方法，在图④中画出△ABC的“三阶等腰线”，并标出每个等腰三角形顶角的度数；
（3）在△ABC中，BC=a，AC=b，∠C=2∠B．
①作出△ABC；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
②画出△ABC的“三阶等腰线”，并做适当的标注．
分析 （1）根据三阶等腰线的定义，可以分成的三个等腰三角形三个内角度数分别是45°、45°、90°；22.5°、22.5°、135°；67.5°、67.5°、45°；
（2）根据三阶等腰线的定义，可以分成的三个等腰三角形三个内角度数分别是20°、20°、140°；40°、40°、100°；30°、30°、120°；
（3））①以a-b、b、b为边作△BEF，再作边长为b的菱形EFAC（FA∥BE），图5中△ABC就是所求的三角形；
②）根据三阶等腰线的定义，图中△BCE、△AEF、△AFC都是等腰三角形，线段CE、AF就是三阶等腰线；
解答 解：（1）如图2所示，线段DE、CD就是三阶等腰线，
（2）如图4所示，图中线段DE、AD就是三阶等腰线，
（3）①作法：以a-b、b、b为边作△BEF，再作边长为b的菱形EFAC（FA∥BE），图5中△ABC就是所求的三角形．
②如图6所示，△ABC的“三阶等腰线”就是线段CE、AF，
点评 本题考查设计与作图、等腰三角形的定义、尺规作图等知识，理解三阶等腰线的定义是解决问题的关键，第三个问题中的第一个问题有点难度，这种作图的方法叫做三角形典基法．
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