Question

13．（1）如图（1），AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
（2）如图（2），⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）由∠1=∠2，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS即可得证；
（2）利用同弧所对的圆周角相等求出∠D的度数，再由BD为圆O的直径，得到∠BCD为直角，进而得出三角形BCD为等腰直角三角形，根据BD的长求出BC的长即可．

解答 证明：（1）∵∠1=∠2，
∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF，
∵AB=CB，BE=BF，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；

（2）在圆O中，∵∠A=45°，$\widehat{BC}$=$\widehat{BC}$，
∴∠D=45°，
∵BD为圆的直径，
∴∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD•sin45°，
∵BD=2，
∴BC=$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了三角形的外接圆与外心，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理及全等三角形的判定方法是解本题的关键．