Question

18．如图，四边形ABCD是某新建厂区示意图，∠A=75°，∠B=45°，BC⊥CD，AB=500$\sqrt{2}$米，AD=200米，现在要在厂区四周建围墙，求围墙的长度有多少米？

Answer 1

分析 过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，根据∠B=45°可得出△ABE是等腰直角三角形，故可得出AE=BE，∠BAE=∠B=45°．再由∠A=75°可得出∠DAF的度数，进而可得出AF及DF的长，根据BC⊥CD可得出四边形CDFE是矩形，故可得出CD=EF，CE=DF，据此可得出结论．

解答 解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥AE于点F，
∵∠B=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=BE，∠BAE=∠B=45°．
∵AB=500$\sqrt{2}$米，
∴AE=BE=500$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=500米．
∵∠A=75°，
∴∠DAF=75°-45°=30°．
∵AD=200米，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD=100米，AF=200×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=100$\sqrt{3}$米．
∵BC⊥CD，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CD=EF=AE-AF=（500-100$\sqrt{3}$）米，CE=DF=100米，
∴AB+BC+AD+CD=500$\sqrt{2}$+（500+100）+200+（500-100$\sqrt{3}$）=（1300+500$\sqrt{2}$-100$\sqrt{3}$）米．
答：围墙的长度是（1300+500$\sqrt{2}$-100$\sqrt{3}$）米．

点评 本题考查的是勾股定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．