Question

8．如图，我们把先作正方形ABCD的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A₁B₁C₁D₁．称为第一次数学操作，解下列，作正方形A₁B₁C₁D₁的内切圆，再作这个内切圆的内接正方形A₂B₂C₂D₂，称为第二次数学操作，按此规律如此下去，…，当完成第n次数学操作后，得到正方形A_nB_nC_nD_n，则$\frac{{A}_{n}{B}_{n}}{AB}$的值为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ
• B． （$\frac{1}{2}$）ⁿ
• C． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）ⁿ
• D． （$\frac{3}{4}$）ⁿ

Answer 1

分析 根据正多边形的特点，构建直角三角形来解决．

解答 解：图形中正方形A₁B₁C₁D₁和正方形ABCD一定相似，OF，OC₁分别是两个正方形的边心距，△OC₁F是等腰直角三角形，因而OF：OC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{AB}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当完成第n次数学操作后，得到正方形A_nB_nC_nD_n，则$\frac{{A}_{n}{B}_{n}}{AB}$的值为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）ⁿ．
故选A．

点评 此题考查了正多边形和圆的知识，边数相同的正多边形一定相似，边心距的比，半径的比都等于相似比．