如图中四边形ABCD是由两块完全重合的三角板拼成的.且AB=2.∠ACD=90°.∠DAC=30°.开始将一把直尺边EF放在与AC重叠的位置.再由此将直尺绕着AC中点P顺时针旋转角β.当直尺边EF与直线BD重叠时旋转就停止.在旋转过程中EF分别与线段BC.AD交于E.F．(1)当β为30或90度时.EF=2,(2)β的最大值是多少?当β的最大时.试求EF的长．(3)在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．

如图中四边形ABCD是由两块完全重合的三角板拼成的，且AB=2，∠ACD=90°，∠DAC=30°，开始将一把直尺边EF放在与AC重叠的位置，再由此将直尺绕着AC中点P顺时针旋转角β，当直尺边EF与直线BD重叠时旋转就停止，在旋转过程中EF分别与线段BC、AD交于E、F．
（1）当β为30或90度时，EF=2；
（2）β的最大值是多少？当β的最大时，试求EF的长．
（3）在角β的变化过程中是否存在以点E、B、A、F、D中的四点为顶点的四边形是菱形的情况？若存在，求出β的值，若不存在，请说明理由．（精确到度，参考数据：tan71°≈2.9042，tan49°≈1.155，sin71°≈0.9455，sin49°≈0.7550，$\sqrt{3}$≈1.732）

分析（1）分两种情况：
①当EF与AB不平行时，如图1，作辅助线AG，证明四边形EFAG是平行四边形，则EF=AG=2，得等腰三角形ABG，则∠AGB=60°，所以∠EPC=∠CAG=30°，即β=30°，
②当EF与AB平行时，如图2，∠CPE=∠CAB=90°，即β=90°；
（2）如图3，当旋转角β等于∠BPC时最大在Rt△ABP中，tan∠BPA=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≈1.155，得∠BPA=49°，则∠BPC=β=180°-∠BPA=131°，β的最大值是131°，作辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理求BD的长，即是EF的长；
（3）存在，在以点E、B、A、F、D中选四点构成的四边形有：四边形DABE、FABE、DFBE，分别讨论这三个四边形，发现①四边形FABE是菱形，β=90°，②四边形DABE不可能是菱形，③四边形FBED是菱形，β=∠CPE=41°．

解答解：（1）分两种情况：
①当EF与AB不平行时，如图1，过A作AG∥EF，交BC于G，
∵∠ACB=∠CAD，
∴BC∥AD，
∴四边形EFAG是平行四边形，
∴EF=AG=2，
∵AB=2，
∴AB=AG=2，
∴∠B=∠AGB，
∵△ADC≌△CAB，
∴∠B=∠D=90°-30°=60°，
∵∠AGB=∠BCA+∠CAG，∠BCA=30°，
∴∠CAG=60°-30°=30°，
∵PE∥AG，
∴∠EPC=∠CAG=30°，
即β=30°，
②当EF与AB平行时，如图2，
∴∠CPE=∠CAB=90°，
即β=90°，
综上所述，β的度数是30°或90°，
故答案为：30或90；

（2）如图3，从直尺旋转可知：当旋转角β等于∠BPC时最大，
∵AB=2，
∠BAC=∠ACD=90°，∠ABC=60°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，PA=PC=$\sqrt{3}$，
在Rt△ABP中，tan∠BPA=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≈1.155，
∵tan49°≈1.155，
∴∠BPA=49°，∠BPC=β=180°-∠BPA=131°，
即：0≤β≤131°，
∴β的最大值是131°，
过B作BH⊥DA，交DA的延长线于H，
∠BAH=180°-120°=60°，AB=2，
∴AH=1，BH=$\sqrt{3}$，DH=5，
在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$，
∴EF=BD=2$\sqrt{7}$；

（3）存在，
∵在点E、B、A、F、D中，有D、F、A三点在同一边上，
∴在以点E、B、A、F、D中选四点构成的四边形有：四边形DABE、FABE、DFBE，
如图2，假设四边形FABE是菱形，则AB=BE=2，E、F分别是BC、AD的中点，EF∥AB，
∴∠EPC=∠PAB=90°，即β=90°，
∵在四边形DABE中，AB=2，AD=BC=4，
∴DA≠AB，故四边形DABE不可能是菱形，
如图4，若又假设四边形FBED是菱形，
则EF⊥BD于P，
则∠APF=90°-∠BPA=90°-49°=41°，即β=∠CPE=41°，
综上所述，当β=90°或41°时，（以点E、B、A、F、D中选四点构成的四边形是菱形）四边形FABE和四边形DFBE是菱形．

点评本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形、平行四边形、菱形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，涉及的知识点较多，比较复杂，与旋转相结合，利用数形结合的思想解决问题．

练习册系列答案

13．

（1）如图（1），AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
（2）如图（2），⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．

10．在大课间活动中，体育老师抽取了八年级（一）班参加“跳绳、引体向上、仰卧起坐、跑步”活动的学生人数进行统计分析（每人只参加一项活动），绘制了如下统计图，请你根据图中的信息完成下列问题：
（1）扇形统计图中a=20，并将条形统计图补充完整；
（2）计算该班学生人数；
（3）活动结束后，体育老师随机抽取一名学生谈活动体会，抽到参加了引体向上项目的学生的概率是多少？

17．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端C在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转37°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为28°，点D到点O的距离为30cm．
（1）求B点到OP的距离；
（2）求滑动支架的长．（结果精确到0.1）
（数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53，sin 53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33）

7．小明在解决一个关于计算机病毒传播的问题时，设计算机有x台，列方程3+x+x（x+3）=48，则方程的解中一定不合题意的是（　　）

14．

甲、乙两人在直线道路上同起点，同终点，同方向，分别以不同的速度匀速跑步1500m，先到终点的人原地休息，已知甲先出发30s后，乙才出发，甲、乙两人的距离y（m）与甲出发的时间x（s）之间的关系如图所示，下列说法中错误的是（　　）

	A．	甲的速度是2.5m/s，乙的速度为3m/s
	B．	乙出发150秒后追上了甲
	C．	乙到达终点时，甲距终点250m
	D．	甲到达终点比乙晚了70s

11．抛物线y=x²+2x+m-1与x轴有交点，则m的取值范围是（　　）

12．