题目内容

2．如图中四边形ABCD是由两块完全重合的三角板拼成的，且AB=2，∠ACD=90°，∠DAC=30°，开始将一把直尺边EF放在与AC重叠的位置，再由此将直尺绕着AC中点P顺时针旋转角β，当直尺边EF与直线BD重叠时旋转就停止，在旋转过程中EF分别与线段BC、AD交于E、F．
（1）当β为30或90度时，EF=2；
（2）β的最大值是多少？当β的最大时，试求EF的长．
（3）在角β的变化过程中是否存在以点E、B、A、F、D中的四点为顶点的四边形是菱形的情况？若存在，求出β的值，若不存在，请说明理由．（精确到度，参考数据：tan71°≈2.9042，tan49°≈1.155，sin71°≈0.9455，sin49°≈0.7550，$\sqrt{3}$≈1.732）

分析 （1）分两种情况：
①当EF与AB不平行时，如图1，作辅助线AG，证明四边形EFAG是平行四边形，则EF=AG=2，得等腰三角形ABG，则∠AGB=60°，所以∠EPC=∠CAG=30°，即β=30°，
②当EF与AB平行时，如图2，∠CPE=∠CAB=90°，即β=90°；
（2）如图3，当旋转角β等于∠BPC时最大在Rt△ABP中，tan∠BPA=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≈1.155，得∠BPA=49°，则∠BPC=β=180°-∠BPA=131°，β的最大值是131°，作辅助线，构建直角三角形，利用勾股定理求BD的长，即是EF的长；
（3）存在，在以点E、B、A、F、D中选四点构成的四边形有：四边形DABE、FABE、DFBE，分别讨论这三个四边形，发现①四边形FABE是菱形，β=90°，②四边形DABE不可能是菱形，③四边形FBED是菱形，β=∠CPE=41°．

解答 解：（1）分两种情况：
①当EF与AB不平行时，如图1，过A作AG∥EF，交BC于G，
∵∠ACB=∠CAD，
∴BC∥AD，
∴四边形EFAG是平行四边形，
∴EF=AG=2，
∵AB=2，
∴AB=AG=2，
∴∠B=∠AGB，
∵△ADC≌△CAB，
∴∠B=∠D=90°-30°=60°，
∵∠AGB=∠BCA+∠CAG，∠BCA=30°，
∴∠CAG=60°-30°=30°，
∵PE∥AG，
∴∠EPC=∠CAG=30°，
即β=30°，
②当EF与AB平行时，如图2，
∴∠CPE=∠CAB=90°，
即β=90°，
综上所述，β的度数是30°或90°，
故答案为：30或90；

（2）如图3，从直尺旋转可知：当旋转角β等于∠BPC时最大，
∵AB=2，
∠BAC=∠ACD=90°，∠ABC=60°，
∴AC=2$\sqrt{3}$，PA=PC=$\sqrt{3}$，
在Rt△ABP中，tan∠BPA=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$≈1.155，
∵tan49°≈1.155，
∴∠BPA=49°，∠BPC=β=180°-∠BPA=131°，
即：0≤β≤131°，
∴β的最大值是131°，
过B作BH⊥DA，交DA的延长线于H，
∠BAH=180°-120°=60°，AB=2，
∴AH=1，BH=$\sqrt{3}$，DH=5，
在Rt△BDH中，BD=$\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{28}$=2$\sqrt{7}$，
∴EF=BD=2$\sqrt{7}$；

（3）存在，
∵在点E、B、A、F、D中，有D、F、A三点在同一边上，
∴在以点E、B、A、F、D中选四点构成的四边形有：四边形DABE、FABE、DFBE，
如图2，假设四边形FABE是菱形，则AB=BE=2，E、F分别是BC、AD的中点，EF∥AB，
∴∠EPC=∠PAB=90°，即β=90°，
∵在四边形DABE中，AB=2，AD=BC=4，
∴DA≠AB，故四边形DABE不可能是菱形，
如图4，若又假设四边形FBED是菱形，
则EF⊥BD于P，
则∠APF=90°-∠BPA=90°-49°=41°，即β=∠CPE=41°，
综上所述，当β=90°或41°时，（以点E、B、A、F、D中选四点构成的四边形是菱形）四边形FABE和四边形DFBE是菱形．

点评 本题是四边形的综合题，考查了旋转的性质，矩形、平行四边形、菱形的性质和判定，三角形全等的性质和判定，勾股定理，三角函数等知识，涉及的知识点较多，比较复杂，与旋转相结合，利用数形结合的思想解决问题．

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