Question

1．△ABC是等腰直角三角形，AC=BC，∠ACB=90°，
（1）如图1，点M是BA延长线上一点，连结CM，K是AC上一点，BK延长线交CM于N，∠MBN=∠MCA=15°，BK=8求CM的长度．
（2）如图2，直线l经过点C，AF⊥l于点F，BE⊥l于点E，点D是AB的中点，连接ED．求证：AF=BE+$\sqrt{2}$DE．

Answer 1

分析 （1）如图1，过C作CD⊥AB于D，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠BAC=45°，得到∠KBC=30°，根据直角三角形的性质得到BC=4$\sqrt{3}$，求得CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{6}$，解直角三角形即可得到结论；
（2）如图2，连接DF，CD，根据等腰直角三角形的性质得到CD=BD，∠CDB=90°，由全等三角形的性质得到BE=CF，CE=AF，推出△BDE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到∠EDB=∠FDC，DE=DF，根据余角的性质得到∠EDF=90°，根据等腰直角三角形的性质得到EF=$\sqrt{2}$DE，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，过C作CD⊥AB于D，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∵∠MBN=15°，
∴∠KBC=30°，
∵BK=8，
∴BC=4$\sqrt{3}$，
∴CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=2$\sqrt{6}$，
∵∠MCA=15°，∠BAC=45°，
∴∠M=30°，
∴CM=2CD=4$\sqrt{6}$；


（2）如图2，连接DF，CD，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC=∠ACB=90°，
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF=90°，
∴∠EBC=∠CAF，
∵AF⊥l于点F，
∴∠AFC=90°，
在△BCE与△ACF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠BEC=90°}\\{∠EBC=∠ACF}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBE；
∴BE=CF，CE=AF，
∵点D是AB的中点，
∴CD=BD，∠CDB=90°，
∵∠EBD=∠DCF，
在△BDE与△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=CF}\\{∠EBD=∠FCD}\\{BD=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDF，
∴∠EDB=∠FDC，DE=DF，
∵∠CDF+∠FDB=90°，∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠EDF=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
∴EF=$\sqrt{2}$DE，
∴AF=CE=EF+CF=BE+$\sqrt{2}$DE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，证得△BCE≌△ACF是解题的关键．