Question

3．已知正方形ABCD的边长为1，点P为正方形内一动点，若点M在AB上，且满足△PBC∽△PAM，延长BP交AD于点N，连结CM．

（1）如图一，若点M在线段AB上，求证：AP⊥BN；AM=AN；
（2）①如图二，在点P运动过程中，满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时，AP⊥BN和AM=AN是否成立？（不需说明理由）
②是否存在满足条件的点P，使得PC=$\frac{1}{2}$？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△PBC∽△PAM，推出∠PAM=∠PBC，由∠PBC+∠PBA=90°，推出∠PAM+∠PBA=90°即可证明AP⊥BN，由△PBC∽△PAM，推出$\frac{PM}{PC}$=$\frac{AM}{BC}$=$\frac{PA}{PB}$，由△BAP∽△BNA，推出$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AN}{BC}$，得到$\frac{AN}{AB}$=$\frac{AM}{BC}$，由此即可证明．
（2）①结论仍然成立，证明方法类似（1）．②这样的点P不存在．利用反证法证明．假设PC=$\frac{1}{2}$，推出矛盾即可．

解答 （1）证明：如图一中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM=∠PBC，$\frac{PM}{PC}$=$\frac{AM}{BC}$=$\frac{PA}{PB}$，
∴∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PAM+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BN，
∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，
∴△BAP∽△BNA，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AN}{BC}$，
∴$\frac{AN}{AB}$=$\frac{AM}{BC}$，
∵AB=BC，
∴AN=AM．
（2）解：①仍然成立，AP⊥BN和AM=AN．
理由如图二中，∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠D=90°，
∵△PBC∽△PAM，
∴∠PAM=∠PBC，$\frac{PM}{PC}$=$\frac{AM}{BC}$=$\frac{PA}{PB}$，
∴∠PBC+∠PBA=90°，
∴∠PAM+∠PBA=90°，
∴∠APB=90°，
∴AP⊥BN，
∵∠ABP=∠ABN，∠APB=∠BAN=90°，
∴△BAP∽△BNA，
∴$\frac{PA}{PB}$=$\frac{AN}{AB}$，
∴$\frac{AN}{AB}$=$\frac{AM}{BC}$，
∵AB=BC，
∴AN=AM．
②这样的点P不存在．
理由：假设PC=$\frac{1}{2}$，
如图三中，以点C为圆心$\frac{1}{2}$为半径画圆，以AB为直径画圆，
CO=$\sqrt{B{C}^{2}+B{O}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$＞$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$，
∴两个圆外离，∴∠APB＜90°，这与AP⊥PB矛盾，
∴假设不可能成立，
∴满足PC=$\frac{1}{2}$的点P不存在．

点评 本题考查相似三角形综合题、正方形的性质、圆的有关知识，解题的关键是熟练应用相似三角形性质解决问题，最后一个问题利用圆的位置关系解决问题，有一定难度，属于中考压轴题．