Question

13．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC，若AB=4，CD=1，则EC的长为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 首先连接BE，由⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=4，CD=1，根据垂径定理可求得AC=BC=2，然后设OA=x，利用勾股定理可得方程：2²+（x-1）²=x²，则可求得半径的长，继而利用三角形中位线的性质，求得BE的长，又由AE是直径，可得∠B=90°，继而求得答案．

解答 解：连接BE，
∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=2，
∴AC=BC=2，
设OA=x，
∵CD=1，
∴OC=x-1，
在Rt△AOC中，AC²+OC²=OA²，
∴2²+（x-1）²=x²，
解得：x=$\frac{5}{2}$，
∴OA=OE=$\frac{5}{2}$，OC=$\frac{3}{2}$，
∴BE=2OC=3，
∵AE是直径，
∴∠B=90°，
∴CE=$\sqrt{{BC}^{2}{+BE}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}{+3}^{2}}$=$\sqrt{13}$．
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．