Question

8．以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{8}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{8}$

Answer 1

分析 由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．

解答 解：如图1，

∵OC=1，
∴OD=1×sin30°=$\frac{1}{2}$；
如图2，

∵OB=1，
∴OE=1×sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
如图3，

∵OA=1，
∴OD=1×cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则该三角形的三边分别为：$\frac{1}{2}$、$\frac{\sqrt{2}}{2}$、$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²，
∴该三角形是以$\frac{1}{2}$、$\frac{\sqrt{2}}{2}$为直角边，$\frac{\sqrt{3}}{2}$为斜边的直角三角形，
∴该三角形的面积是$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{8}$，
故选：D．

点评 本题主要考查多边形与圆，解答此题要明确：多边形的半径、边心距、中心角等概念，根据解直角三角形的知识解答是解题的关键．