Question

18．实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B（如图），若AM²=BM•AB，BN²=AN•AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b-a=2时，a，b的大黄金数与小黄金数之差m-n=2$\sqrt{5}$-4．

Answer 1

分析 设AM=x，根据AM²=BM•AB列一元二次方程，求出x，得出AM=BN=$\sqrt{5}$-1，从而求出MN的长，即m-n的长．

解答 解：由题意得：AB=b-a=2
设AM=x，则BM=2-x
x²=2（2-x）
x=-1±$\sqrt{5}$
x₁=-1+$\sqrt{5}$，x₂=-1-$\sqrt{5}$（舍）
则AM=BN=$\sqrt{5}$-1
∴MN=m-n=AM+BN-2=2（$\sqrt{5}$-1）-2=2$\sqrt{5}$-4
故答案为：2$\sqrt{5}$-4．

点评 本题考查了数轴上两点的距离和黄金分割的定义及一元二次方程，做好此题的关键是能正确表示数轴上两点的距离：若A表示x_A、B表示x_B，则AB=|x_B-x_A|；同时会用配方法解一元二次方程，理解线段的和、差关系．