Question

14．阅读下面的材料，回答问题：
如图，在单位长度为1的正方形网格中，一段圆弧经过点A、B、C．
（1）利用网格标出该圆弧所在圆的圆心O；
（2）请在（1）的基础上，完成下列问题：
         ①⊙O的半径为$\sqrt{5}$（结果保留根号）；
         ②$\widehat{ABC}$的长为$\sqrt{5}$π（结果保留π）；
         ③判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）连接AC，作AC的垂直平分线，由垂径定理可知OE与网格的交点即为⊙O的圆心；
（2）①直接根据正方形网格的特点及勾股定理求出OC的长即为⊙O的半径；
②先根据直角三角形的性质得出∠AOC=90°，再根据弧长公式求出$\widehat{ABC}$的度数；
③连接CD，根据勾股定理得出CD、OD的长，由勾股定理的逆定理判断出△OCD的形状即可．

解答 解：（1）如图所示：

连接AC，作线段AC的垂线OE，交正方形网格于点O，则O点即为⊙O的圆心．
（2）①在Rt△OCF中，
∵CF=2，OF=4，
∴OC=$\sqrt{C{F}^{2}+O{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{5}$；
故答案为：$\sqrt{5}$．
②在Rt△OAG与Rt△OCF中，AG=OF=4，OG=CF=2，OA=OC=2$\sqrt{5}$，
∴∠OAG=∠COF，∠AOG=∠OCF，
∵∠OAG+∠AOG=90°，∠OCF+∠COF=90°，
∴∠AOG+∠COF=90°，
∴∠AOC=90°，
∴$\widehat{ABC}$=$\frac{90π•OC}{180}$=$\frac{2\sqrt{5}π}{2}$=$\sqrt{5}$π；
故答案为：$\sqrt{5}$π．
③直线DC与⊙O相切．
理由：∵连接CD，在△DCO中，CD=$\sqrt{5}$，CO=2$\sqrt{5}$，DO=5，
∴CD²+CO²=25=DO²．
∴∠DCO=90°，即CD⊥OC．
∴CD与⊙O相切．

点评 本题考查的是垂径定理的应用、勾股定理、直线与圆的位置关系、勾股定理的逆定理及弧长的计算，在解答此题时要先根据垂径定理作出圆心，再根据勾股定理的相关知识进行解答．