Question

3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD．过点D作DF⊥AC于点F．
（1）如图1若点F与点A重合，求证：AC=BC；
（2）若∠DAF=∠DBA，如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋转得到∠BAC=∠BAD，而DF⊥AC，从而得出∠ABC=45°，最后判断出△ABC是等腰直角三角形；
（2）由旋转得到∠BAC=∠BAD，再根据∠DAF=∠DBA，从而求出∠FAD=∠BAC=∠BAD=60°，最后判定△AFD≌△BED，即可．

解答 解：（1）由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∵DF⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∴∠BAC=∠BAD=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ABC=45°，
∴AC=CB，
（2）AF=BE，
理由：由旋转得，AD=AB，
∴∠ABD=∠ADB，
∵∠DAF=∠ABD，
∴∠DAF=∠ADB，
∴AF∥BD，
∴∠BAC=∠ABD，
∵∠ABD=∠FAD
由旋转得，∠BAC=∠BAD，
∴∠FAD=∠BAC=∠BAD=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
由旋转得，AB=AD，
∴△ABD是等边三角形，
∴AD=BD，
在△AFD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠BED=90°}\\{∠FAD=∠BED}\\{AD=BD}\end{array}\right.$，
∴△AFD≌△BED，
∴AF=BE．

点评 此题主要考查了，等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，旋转的性质，解本题的关键是熟练掌握旋转的性质．