Question

19．如图，已知等边△ABC的边长为2，E，F，G分别在边AB，BC，CA上，且△EFG也是等边三角形．
（1）求证：AG=BE；
（2）设AE=x，求x的值，使△EFG的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得出∠A=∠B=∠FEG=60°，进而得出∠BFE=∠AEG，即可判断出，△BEF≌△AGE（AAS），结论得证；
（2）借助（1）的结论判断出S_△BEF=S_△CFG=S_△AGE，再用x表示出△AEG的面积，最后用面积差建立方程求解即可．

解答 解：（1）∵△ABC、△EFG都是等边三角形，
∴EG=EF，∠A=∠B=∠FEG=60°，
在△BEF中，∠BEF+∠BFE=180°-∠B=120°，
∵∠BEF+∠AEG=180°-∠FEG=120°，
∴∠BFE=∠AEG，
在△BEF和△AGE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠A=60°}\\{∠BFE=∠AEG}\\{EF=EG}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△AGE（AAS），
∴AG=BE，
（2）如图，同（1）的方法得出，△BEF≌△CFG≌△AGE，
∴S_△BEF=S_△CFG=S_△AGE，CG=AE=x，
∴AG=AC-x=2-x
过点E作ED⊥AC，在Rt△ADE中，∠A=60°，AE=x，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
∵△ABC是等边三角形，
∴S_△EFG=S_△ABC-3S_△AEG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×2²-3×$\frac{1}{2}$×（2-x）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∵△EFG的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
∴$\frac{3\sqrt{3}}{4}$（x-1）²+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴x=1．

点评 此题是全等三角形的判定和性质，主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出∠BFE=∠AEG，也是解本题的难点，易错点是三角形EFG的面积式子的化简，用方程的思想解决问题是解这类问题常用的方法．