Question

17．如图，抛物线y=-x²+4x+5与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线y=$-\frac{3}{4}x+3$与y轴交于点C，与x轴交于点D．P是x轴上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m．
（1）求抛物线与x轴的交点坐标；
（2）若PE=5EF，求m的值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）由题意P（m，-m²+4m+5），E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），F（m，0），由PE=5EF，可得-m²+4m+5-（-$\frac{3}{4}$m+3）=5（-$\frac{3}{4}$m+3），解方程即可解决问题．

解答 解：（1）对于抛物线y=-x²+4x+5，令y=0得到-x²+4x+5=0，解得x=-1或5，
∴抛物线与x轴的交点坐标为A（-1，0），B（5，0）．

（2）由题意P（m，-m²+4m+5），E（m，-$\frac{3}{4}$m+3），F（m，0），
①点E在点F上方时，
∵PE=5EF，
∴-m²+4m+5-（-$\frac{3}{4}$m+3）=5（-$\frac{3}{4}$m+3），
整理得2m²-17m+26=0，
解得m=2或$\frac{13}{2}$舍弃．
②点E在点F时，∴-m²+4m+5-（-$\frac{3}{4}$m+3）=5（$\frac{3}{4}$m-3），
解得m=$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$或$\frac{1-\sqrt{69}}{2}$（舍弃），
综上所述，满足条件的m的值为2或$\frac{1+\sqrt{69}}{2}$．

点评 本题考查二次函数与x轴的交点、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型，注意有两解．