Question

7．如图，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB．P是OA上任意一点，BP的延长线交⊙O于点Q，点R在OA的延长线上，且RP=RQ．
（1）求证：RQ是⊙O的切线；
（2）当RA≤OA时，试确定∠B的取值范围；
（3）求证：OB²=PB•PQ+OP²．

Answer 1

分析 （1）连接OQ．欲证明RQ是⊙O的切线，只要证明∠OQR=90°．
（2）求出两个特殊位置的∠B的值即可解决问题．
（3）如图2中，延长AO交⊙于M．由PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），推出（OB-OP）（OB+OP）=PB•PQ，可得OB²-OP²=PB•PQ．

解答 （1）证明：连接OQ．

∵OA⊥OB，
∴∠2+∠B=90°，
∵OB=OQ，
∴∠B=∠4，
∵RP=RQ，
∴∠1=∠3=∠2，
∴∠3+∠4=90°，
∴OQ⊥RQ，
∴RQ是⊙O的切线．

（2）解：如图1中，

①当点R与A重合时，易知∠B=45°．
②当AR=OA时，在Rt△ORQ中，∵∠OQR=90°，OR=2OQ，
∴∠R=30°，
∵RQ=RP，
∴∠RPQ=∠RQP=75°，
∴∠OPB=75°，
∴∠B=90°-∠OPB=15°，
综上所述，15°≤∠B＜45°．

（3）如图2中，延长AO交⊙于M．

∵PA•PM=PB•PQ（相交弦定理，也可以连接BM、AQ证明△PBM∽△PAQ得到），
∴（OB-OP）（OB+OP）=PB•PQ，
∴OB²-OP²=PB•PQ．
即OB²=PB•PQ+OP²．

点评 本题考查圆综合题、切线的判定和性质、等腰三角形的性质、相交弦定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．