Question

8．如图，在△ABC中，AB=AC，将AB边绕点A按逆时针方向旋转90°，得到线段AD，AD交BC边于点E，过点D作AD的垂线，交AC边的延长线于点F，若AE=9，DF=8，则线段DE的长为6．

Answer 1

分析 过EG∥AB交AF于G，如图，设DE=x，由旋转的性质得∠BAD=90°，AB=AD=9+x，则AC=9+x，再证明△AEG∽△ADF，利用相似比可表示出EG=$\frac{72}{9+x}$，接着证明GC=GE=$\frac{72}{9+x}$，于是AG=9+x-$\frac{72}{9+x}$，然后在Rt△AEC中利用勾股定理得到9²+（$\frac{72}{9+x}$）²=（9+x-$\frac{72}{9+x}$）²，整理得（9+x）²=225，再解方程即可得到DE的长．

解答 解：过EG∥AB交AF于G，如图，设DE=x，
∵把AB边绕点A按逆时针方向旋转90°，得到线段AD，
∴∠BAD=90°，AB=AD=9+x，
∴AC=9+x，
∵AD⊥DF，
∴∠ADF=90°，
∴AB∥DF，
∴EG∥DF，
∴△AEG∽△ADF，
∴$\frac{EG}{DF}$=$\frac{AE}{AD}$，即$\frac{EG}{8}$=$\frac{9}{9+x}$，解得EG=$\frac{72}{9+x}$，
∵EG∥AB，
∴∠GEC=∠B，
而AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∴∠GEC=∠GCE，
∴GC=GE=$\frac{72}{9+x}$，
∴AG=AC-GC=9+x-$\frac{72}{9+x}$，
在Rt△AEC中，9²+（$\frac{72}{9+x}$）²=（9+x-$\frac{72}{9+x}$）²，
整理得（9+x）²=225，解得x₁=6，x₂=-24（舍去），
即DE的长为6．
故答案为6．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．