Question

如图，抛物线y=-

1

9

x²-

1

3

x+2与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，设N是抛物线对称轴上的一个动点，d=|AN-CN|．探究：是否存在一点N，使d的值最大？若存在，请直接写出点N的坐标和d的最大值；若不存在，请简单说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：根据抛物线的解析式求得B、C的坐标以及对称轴方程，然后连接BC并延长，交抛物线的对称轴x=-

3

2

于点N，连接AN，根据轴对称的性质得出AN=BN，并且根据三角形三边关系定理得出此时d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大．运用待定系数法求出直线BC的解析式，再将x=-

3

2

代入，求出y的值，得到点N的坐标，然后利用勾股定理求出d的最大值BC即可．

解答：解：在抛物线对称轴上存在一点N，能够使d=|AN-CN|的值最大．理由如下：
∵y=-

1

9

x²-

1

3

x+2与x轴交于点A和点B，
∴点A和点B关于抛物线的对称轴对称，C（0，2），
令y=0，则0=-

1

9

x²-

1

3

x+2，
解得x=3或x=-6，
∴A（-6，0），B（3，0），
∵y=-

1

9

x²-

1

3

x+2=-

1

9

（x²+3x）+2=-

1

9

（x+

3

2

）²+

9

4

，
∴对称轴x=-

3

2

连接BC并延长，交直线x=-

3

2

于点N，连接AN，则AN=BN，此时d=|AN-CN|=|BN-CN|=BC最大．
设直线BC的解析式为y=mx+t，将B（3，0），C（0，2）两点的坐标代入，
得

3m+t=0 t=2

，解得

m=- 2 3 t=2

，
∴直线BC的解析式为y=-

2

3

x+2，
当x=-

3

2

时，y=-

2

3

×（-

3

2

）+2=3，
∴点N的坐标为（-

3

2

，3），d的最大值为BC=

32+22

=

13

．

点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点、轴对称的性质等知识，难度适中．其中根据轴对称及三角形三边关系定理确定点N的位置是关键．